Question

16．已知圆C的圆心C在抛物线y²=8x的第一象限部分上，且经过该抛物线的顶点和焦点F
（1）求圆C的方程
（2）设圆C与抛物线的准线的公共点为A，M是圆C上一动点，求△MAF的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）方法一、运用待定系数法，设出圆的方程，由条件得到方程，解方程，可得a，b，r，进而得到圆的方程；
方法二、由题意可得圆心在线段OF的中垂线x=1上，代入抛物线方程可得圆心坐标，半径r，进而得到圆的方程；
（2）由题知：当点M在AF的中垂线与圆的上交点处时，△MAF的面积S最大．由抛物线的定义可得|AF|，求得圆心C到直线AF的距离，即可得到所求面积的最大值．

解答 解：（1）解法一：设圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，
抛物线y²=8x的顶点为（0，0），焦点F（2，0），
由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}=8a}\\{（2-a）^{2}+{b}^{2}={r}^{2}}\end{array}\right.$
又a²+b²=r²，
解得：a=1，b=2$\sqrt{2}$，r=3，
所以圆的方程是：（x-1）²+（y-2$\sqrt{2}$）²=9；
解法二：由题知，圆心在线段OF的中垂线x=1上，
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=8x}\\{x=1}\end{array}\right.$，解得x=1，y=2$\sqrt{2}$，
则圆心C为（1，2$\sqrt{2}$），半径r=|CF|=3，
所以圆的方程是：（x-1）²+（y-2$\sqrt{2}$）²=9；
（2）由题知：当点M在AF的中垂线与圆的上交点处时，△MAF的面积S最大．
由抛物线定义知：圆C与抛物线的准线x=-2相切，
切点A（-2，2$\sqrt{2}$），|AF|=2$\sqrt{6}$，
kAF=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，直线AF的方程是：y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-2）即$\sqrt{2}$x+y-2$\sqrt{2}$=0，
圆心C到直线AF的距离d₁=$\frac{|\sqrt{2}+4\sqrt{2}-2\sqrt{2}|}{\sqrt{6}}$=$\sqrt{3}$，
点M到直线AF的最大距离d=d₁+r=$\sqrt{3}$+3，
则S_max=$\frac{1}{2}$|AF|•d=3（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，考查圆的方程的求法，抛物线的定义和方程、性质的运用，属于中档题．