Question

已知⊙和点.

(Ⅰ)过点向⊙引切线，求直线的方程；
(Ⅱ)求以点为圆心，且被直线截得的弦长为4的⊙的方程；
(Ⅲ)设为（Ⅱ）中⊙上任一点，过点向⊙引切线，切点为. 试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

(Ⅰ) ；（Ⅱ） 
（Ⅲ）可以找到这样的定点，使得为定值. 如点的坐标为时，比值为；
点的坐标为时，比值为

试题分析：(Ⅰ)设切线方程为 ，易得，解得……4分
∴切线方程为 
（Ⅱ）圆心到直线的距离为,设圆的半径为，则,
∴⊙的方程为 
（Ⅲ）假设存在这样的点，点的坐标为，相应的定值为，
根据题意可得，∴,
即  （*），
又点在圆上∴，即，代入（*）式得：
  
若系数对应相等，则等式恒成立，∴，
解得 
∴可以找到这样的定点，使得为定值. 如点的坐标为时，比值为；
点的坐标为时，比值为
点评：中档题，涉及圆的题目，在近些年高考题中是屡有考查，求圆标准方程，研究直线与圆的位置关系。求圆的标准方程，主要考虑定义法、待定系数法。涉及直线于圆位置关系问题，往往应用韦达定理或充分利用“特征三角形”，通过半径、弦长一半、圆心到弦的距离，建立方程（组）。