Question

如图，在底面是矩形的四棱锥中，

⊥平面， ，.

是的中点，

（Ⅰ）求证：平面⊥平面；               

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值

 

Answer 1

17．解法一：（Ⅰ），，

.  -------------------------------------------------------------------------------

,    .

     而,    平面

.                              

.                              

（Ⅱ）连结、，取中点， 连结 ， 则,

∵平面，   ∴平面.

过作交于，连结，

则 就是二面角所成平面角.       

由，则.

在中，   解得.

因为是的中点，所以.        

而，由勾股定理可得.        

.            

（Ⅲ）延长，过作垂直于，连结，

又∵，∴⊥平面，                      

过作垂直于， 则,

所以平面,  即平面，

所以在平面内的射影是，是直线与平面所成的角.

.   

.

.

解法二：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为 轴建立空间直角坐标系，则(0，0，0) ,   (2，0，0),    (2，4，0) ,   (0，4，0) ，

(0，2，1) ,   (0，0，2) .                              

∴＝(2，0，0) ,     ＝(0，4，0) ,      ＝(0，0，2) ,    ＝(－2，0，0) ,

＝(0，2，1) ,    ＝(2，4，0) .                     　

（Ⅰ）,  .

又,  .             　

,  

, 

 而,

∴平面⊥平面.　）

（Ⅱ）设平面的法向量=,令，则.

由即

∴=.                           

平面的法向量＝(0，0，2) ,   .

所以二面角所成平面角的余弦值是.   

（Ⅲ）因为平面的法向量是=，而＝(－2，0，0) .

 所以  .      

 直线与平面所成角的正弦值  .