Question

已知椭圆的离心率为，F₁，F₂分别为椭圆C的左右焦点，且F₂到椭圆C的右准线l的距离为1，点P为l上的动点，直线PF₂交椭圆C于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求△F₁AB的面积S的取值范围；
（Ⅲ）设，，求证λ+μ为定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据离心率求得a和c的关系，进而根据F₂到椭圆C的右准线l的距离为1和a²=b²+c²求得a和b，椭圆的方程可得．
（2）可设动点P的坐标为（2，m），求得焦点坐标，进而可得直线PF₂的方程与椭圆方程联立消去y，设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），根据伟大定理可表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而表示出|AB|和点F₁到直线PF₂的距离，进而可得△F₁AB的面积S的表达式，根据m确定S的取值范围．
（3）根据，，可求得λ和μ的表达式，进而把x₁+x₂和x₁x₂代入λ+μ中求得λ+μ=0，原式得证．
解答：解：
（Ⅰ）由题意得，
解得，b=1，c=1，
所以椭圆C的方程为．
（Ⅱ）因为右准线l的方程为，
所以可设动点P的坐标为（2，m），由（Ⅰ）知焦点F₁，F₂的坐标分别（-1，0），（1，0），
所以直线PF₂的方程为y=m（x-1）．
设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由得（1+2m²）x²-4m²x+2m²-2=0，
于是，．
所以．
点F₁到直线PF₂的距离，
所以△F₁AB的面积，，
由题知m∈R且m≠0，于是，
故△F₁AB的面积S的取值范围是．

（Ⅲ）由（Ⅱ）及，，得（1-x₁，-y₁）=λ（x₂-1，y₂），（2-x₁，m-y₁）=μ（x₂-2，y₂-m），
于是，，
所以．
因为，
所以λ+μ=0，即λ+μ为定值0．
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程．当涉及直线与圆锥曲线的关系时，常需要把直线方程和圆锥曲线方程联立，根据伟大定理找到解决问题的途径．