Question

已知f(x)=ax²(a∈R), g(x)=2lnx.

（1）讨论函数F(x)=f(x)-g(x)的单调性；

（2）是否存在实数a，使得f(x)≥g(x)+2 (x>0)恒成立，若不存在，请说明理由；若存在，求出a的取值范围;

（3）若方程f(x)=g(x)在区间上有两个不相等的实数根，求a的取值范围.

Answer 1

解：（1）

（i）当a>0时，由ax²-1>0得 , 

 由ax²-1<0得 .

故当a>0时，F(x)的递增区间为，

递减区间为.

（ii）当恒成立

故当上单调递减.   ………………………4分

（2）即使时恒成立.

（i）当a≤0时，由（1）知当

∴时不可能恒成立.， 

（ii）当a>0时，由（1）可知

即可 ,

故存在这样的a的值，使得

a的取值范围是              ………………………8分

（3）等价于方程在区间上有两个不等解，

∵ 

在区间上为增函数，在上为减函数，

∴， 

， 

   a的取值范围是