题目内容
已知函数f(x)=
和函数g（x）=2x-2-x
（1）判断h(x)=
的奇偶性，并判断和证明y=lgh（x）在定义域上的单调性；
（2）若函数h（x）=f（x）+λg（x）是R上的增函数，求实数λ的取值范围．
| 4x+1 |
| 2x |
（1）判断h(x)=
| f(x) |
| g(x) |
（2）若函数h（x）=f（x）+λg（x）是R上的增函数，求实数λ的取值范围．
分析：（1）由题意h（x）=
=
=
，代入检验h（-x）与h（x）的关系即可判断函数的奇偶性；由h（x）＞0可得x＞0
设0＜x1＜x2，则通过判断h（x1）-h（x2）=1+
-1-
的正负可先判断h（x）在（0，+∞）上的单调性，然后根据复合函数的单调性即可
（2）由函数h（x）=f（x）+λg（x）是R上的增函数可得h（x1）-h（x2）＞0恒成立，整理可得λ＞1-
∈(-1，1)恒成立（t=
），从而可求λ的范围
| f(x) |
| g(x) |
2x+
| ||
2x-
|
| 4x+1 |
| 4x-1 |
设0＜x1＜x2，则通过判断h（x1）-h（x2）=1+
| 2 |
| 4x1-1 |
| 2 |
| 4x2-1 |
（2）由函数h（x）=f（x）+λg（x）是R上的增函数可得h（x1）-h（x2）＞0恒成立，整理可得λ＞1-
| 2 |
| t+1 |
| 1 |
| 2x1+x2 |
解答：解：（1）f（x）=
=2x+
，g(x)=2x-
∵h（x）=
=
=
∴h(-x)=
=
=-h（x）
∴函数h（x）为奇函数
h(x)=
=1+
由h（x）＞0可得x＞0
设0＜x1＜x2，则h（x1）-h（x2）=1+
-1-
=
∵0＜x1＜x2，则4x2-4x1＞0，4x2-1＞0，4x1-1＞0
∴h（x1）＞h（x2），lgh（x1）＞lgh（x2）
∴y1＞y2
函数y=lgh（x）在（0，+∞）上递减…（6分）
（2）∵函数h（x）=f（x）+λg（x）是R上的增函数
∴h(x1)-h(x2)=(2x1-2x2)(λ+1+
)＜0，λ+1+
＞0，令t=
＞0
∴λ＞1-
∈(-1，1)恒成立
∴λ≥1…（8分）
| 4x+1 |
| 2x |
| 1 |
| 2x |
| 1 |
| 2x |
∵h（x）=
| f(x) |
| g(x) |
2x+
| ||
2x-
|
| 4x+1 |
| 4x-1 |
∴h(-x)=
| 4-x+1 |
| 4-x-1 |
| 1+4x |
| 1-4x |
∴函数h（x）为奇函数
h(x)=
| 4x+1 |
| 4x-1 |
| 2 |
| 4x-1 |
设0＜x1＜x2，则h（x1）-h（x2）=1+
| 2 |
| 4x1-1 |
| 2 |
| 4x2-1 |
| 2(4x2-4x1) |
| (4x2-1)(4x1-1) |
∵0＜x1＜x2，则4x2-4x1＞0，4x2-1＞0，4x1-1＞0
∴h（x1）＞h（x2），lgh（x1）＞lgh（x2）
∴y1＞y2
函数y=lgh（x）在（0，+∞）上递减…（6分）
（2）∵函数h（x）=f（x）+λg（x）是R上的增函数
∴h(x1)-h(x2)=(2x1-2x2)(λ+1+
| λ-1 |
| 2x1+x2 |
| λ-1 |
| 2x1+x2 |
| 1 |
| 2x1+x2 |
∴λ＞1-
| 2 |
| t+1 |
∴λ≥1…（8分）
点评：本题主要考查了函数奇偶性的判断及理由定义证明、判断函数的单调性，及函数单调性的定义的应用，属于函数知识的综合应用，具有一定的综合性．
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已知函数f(x)=
，则它是（ ）
| ||
| |x-3|-3 |
| A、奇函数 | B、偶函数 |
| C、既奇又偶函数 | D、非奇非偶函数 |