题目内容

有对称中心的曲线叫做有心曲线,显然圆、椭圆、双曲线都是有心曲线. 过有心曲线的中心的弦叫有心曲线的直径,（为研究方便,不妨设直径所在直线的斜率存在）.

定理：过圆上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值－1．

    （Ⅰ）写出该定理在椭圆中的推广,并加以证明；

     （Ⅱ）写出该定理在双曲线中的推广；你能从上述结论得到有心圆锥曲线（包括椭圆、双曲线、圆）的一般性结论吗？请写出你的结论.

解：（Ⅰ）设直径的两个端点分别为A、B,由椭圆的对称性可得,A、B关于中心O（0,0）对称,所以A、B点的坐标分别为A（,B（.

P（上椭圆上任意一点,显然,

因为A、B、P三点都在椭圆上,所以有

, ①

,  ②.

而,

由①－②得：.

所以该定理在椭圆中的推广为：过椭圆上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值.

   （Ⅱ）在双曲线中的推广为：过双曲线上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值

       该定理在有心圆锥曲线中的推广应为：过有心圆锥曲线上异于 直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值－

练习册系列答案
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有对称中心的曲线叫做有心曲线，显然圆、椭圆、双曲线都是有心曲线．过有心曲线的中心的弦叫有心曲线的直径（为研究方便，不妨设直径所在直线的斜率存在）．
定理：过圆x2+y2=r2（r＞0）上异于某直径两端点的任意一点，与这条直径的两个端点连线，则两条直线的斜率之积为定值-1．写出该定理在椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)中的推广（不必证明）：
过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上异于某直径两端点的任意一点，与这条直径的两个端点连线，则两条连线的斜率之积为定值-
b2
a2
过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上异于某直径两端点的任意一点，与这条直径的两个端点连线，则两条连线的斜率之积为定值-
b2
a2

．
有对称中心的曲线叫做有心曲线，过有心曲线中心的弦叫做有心曲线的直径．定理：如果圆x2+y2=r2（r＞0）上异于一条直径两个端点的任意一点与这条直径两个端点连线的斜率存在，则这两条直线的斜率乘积为定值-1．写出该定理在双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a，b＞0)中的推广
x2
a2
-
y2
b2
=1(a，b＞0)上异于一条直径两个端点的任意一点，与这条直径两个端点的连线的斜率乘积等于
b2
a2
x2
a2
-
y2
b2
=1(a，b＞0)上异于一条直径两个端点的任意一点，与这条直径两个端点的连线的斜率乘积等于
b2
a2
．
有对称中心的曲线叫做有心曲线，过有心曲线中心的弦叫做有心曲线的直径．定理：如果圆x2+y2=r2（r＞0）上异于一条直径两个端点的任意一点与这条直径两个端点连线的斜率存在，则这两条直线的斜率乘积为定值-1．写出该定理在有心曲线
x2
m
+
y2
n
=1(mn≠0)中的推广
x2
m
+
y2
n
=1(mn≠0)上异于一条直径两个端点的任意一点，与这条直径两个端点的连线斜率乘积等于-
n
m
x2
m
+
y2
n
=1(mn≠0)上异于一条直径两个端点的任意一点，与这条直径两个端点的连线斜率乘积等于-
n
m
．

有对称中心的曲线叫做有心曲线，过有心曲线中心的弦叫做有心曲线的直径。定理：如果圆上异于一条直径两个端点的任意一点与这条直径两个端点连线的斜率存在，则这两条直线的斜率乘积为定值-1。写出该定理在有心曲线中的推广            。

 

有对称中心的曲线叫做有心曲线，过有心曲线中心的弦叫做有心曲线的直径。定理：如果圆上异于一条直径两个端点的任意一点与这条直径两个端点连线的斜率存在，则这两条直线的斜率乘积为定值-1。写出该定理在有心曲线中的推广

                。

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