Question

（本小题满分12分）

已知是等差数列的前n项和，数列是等比数列，恰为的等比中项，圆，直线，对任意，直线都与圆C相切.

（I）求数列的通项公式；

（II）若时，的前n项和为，求证：对任意，都有

Answer 1

（1），；（2）见解析.

【解析】

试题分析：（1）给出与的关系，求，常用思路：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与的关系，再求；由推时，别漏掉这种情况，大部分学生好遗忘;(2)一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列

的前项的和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后做差求解；（3）利用不等式放缩时掌握好规律，怎样从条件证明出结论.

试题解析：

(Ⅰ) 圆的圆心为,半径为,对任意,直线都与圆相切.

所以圆心到直线的距离为

所以 3分

得

所以, 4分

当时,

当时,

综上,对任意, 5分

设等比数列的公比为,所以

恰为与的等比中项,,所以

,解得 7分

所以 8分

(Ⅱ) 时,

而时, 10分

所以 12分

考点：等差、等比数列的性质及应用.