Question

设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足；对任意a，b∈（0，+∞），都有f（b）=f（a）-f（

a

b

），且当x＞1时，f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）判断并证明函数f（x）的单调性；
（3）如果f（3）=1，解不等式f（x）-f（

1

x-8

）＞2．

Answer 1

（1）取a=b=1，得f（1）=f（1）-f（1）=0，所以f（1）=0．
（2）函数在（0，+∞）上是单调增函数．
任取x₁，x₂∈（0，+∞），设x₁＜x₂，则f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

），因为0＜x₁＜x₂，所以

x2

x1

＞1，又当x＞1时，有f（x）＞0，所以f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

）＞0，即f（x₂）＞f（x₁）．所以f（x）在（0，+∞）上是单调增函数．
（3）若f（3）=1，则2=1+1=f（3）+f（3）=f（9），f（x）-f（

1

x-8

）=f（x（x-8）），则不等式f（x）-f（

1

x-8

）＞2可以化为f（x（x-8））＞f（9），即

x＞0 x-8＞0 x(x-8)＞0

，解得x＞9．即不等式的解集为（9，+∞）．