Question

如果一个正方形的四个点都在三角形的三边上，则该正方形是该三角形的内接正方形，那么面积为4的锐角△ABC的内接正方形面积的最大值为________．

Answer 1

2
分析：先求正方形的边长，而图中有三角形相似，利用相似三角形的对应高之比等于相似比而求出正方形的边长，最后利用基本不等式求出正方形面积的最大值．
解答：解：如图，作AN⊥BC于N交GF与M，
∵四边形GDEF是正方形
∴GF=GD=MN，GF∥BC
∴△AGF∽△ABC
∴=．
设正方形的边长为x．
∴=
解得x=．
由于三角形的面积为4，∴ah=8，
∴x===，当且仅当a=h时取等号，
∴△ABC的内接正方形面积的最大值为=2．
故答案为：2．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质以及基本不等式，重点是相似三角形的对应高之比等于相似比的运用．