Question

【题目】设常数．

（1）若在处取得极小值为，求和的值；

（2）对于任意给定的正实数、，证明：存在实数，当时， ．

Answer 1

【答案】（1）.（2）见解析

【解析】试题分析：（1）本问考查极值点导数为，根据极值点导数为0，对函数求导， ， ， ，再根据，可以求出的值；（2）本问考查存在性问题的证明，主要是将问题进行转化， ,记,故只需证明:存在实数,当时, ,而 ,设，通过证明得到恒有.即当时, 恒有成立.

试题解析：（1）

，

∵，∴.

将代入得

当时, , 递减；

时, , 递增；

故当时, 取极小值,

令,解得.

(Ⅱ)因为,

记,故只需证明:存在实数,当时, ,

[方法1] ,

设,则.

易知当时, ,故.

又由解得: ,即

取,则当时, 恒有.

即当时, 恒有成立.

[方法2] 由,得: ,

故是区间上的增函数.令,

则,因为,

故有,

令,解得: ,

设是满足上述条件的最小正整数,取,则当时, 恒有,

即成立.