Question

已知函数f（x）=a-

2

2x+1

（x∈R），a为实数
（1）试用单调性定义证明对任意实数a，f（x）在其定义域上为增函数；
（2）试确定a的值，使f（x）为奇函数．

Answer 1

分析：（1）利用函数的单调性的定义证明f（x）在其定义域上为增函数．
（2）要使f（x）为奇函数，需f（0）=a-

2

1+1

=0，由此解得a的值．

解答：解：（1）设x₁＜x₂
∵f（x₁）-f（x₂）=-

2

2x1+1

+

2

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)( 2x2+1)

，
由题设可得 2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，故函数在其定义域上为增函数．
（2）要使f（x）为奇函数，需f（0）=a-

2

1+1

=0，解得a=1．
经过检验，当a=1时，函数f（x）满足f（-x）=-f（x），f（x）为奇函数．

点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的判断方法，属于中档题．