题目内容

下列函数中，① $数学公式$ ；②y= $数学公式$ ；③y=log₂x+log_x2（x＞0且x≠1）；④y=3^x+3^-x；⑤ $数学公式$ ；⑥ $数学公式$ ；⑦y=log₂x²+2最小值为2的函数是________（只填序号）

①③④⑥
分析：① $\text{[math]}$ =|x|+| $\text{[math]}$ |，由基本不等式可判断真假；
②y= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，由基本不等式可判断真假；
③当log₂x＜0时，y=log2x+logx2≤-2可判断真假；
④y=3^x+3^-x，由基本不等式可判断真假；
⑤当x＜0时， $\text{[math]}$ ≤-6可判断真假；
⑥ $\text{[math]}$ ，由基本不等式可判断真假；
⑦求出函数y=log₂x²+2值域，可判断真假．
解答：①∵x与 $\text{[math]}$ 同号，故 $\text{[math]}$ =|x|+| $\text{[math]}$ |，由|x|＞0，| $\text{[math]}$ |＞0
∴ $\text{[math]}$ =|x|+| $\text{[math]}$ |≥2 $\text{[math]}$ =≥2，故正确；
②y= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ ＞0， $\text{[math]}$ ＞0，
∴y= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≥2 $\text{[math]}$ =2，故正确；
③当＜x＜1时，log₂x＜0时，y=log₂x+log_x2≤-2，故错误；
④由3^x＞0，3^-x＞0，
∴y=3^x+3^-x≥2 $\text{[math]}$ =2，故正确；
⑤当x＜0时， $\text{[math]}$ ≤-6，故错误；
⑥∵ $\text{[math]}$ ＞0， $\text{[math]}$ ＞0，
则 $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ =2，故正确；
⑦∵x²＞0，故y=log₂x²∈（-∞，+∞），故y=log₂x²+2∈（-∞，+∞），故错误；
故答案为：①③④⑥
点评：本题主要考查了基本不等式在求解函数的最值中的应用，解题的关键是基本不等式的应用条件的判断