Question

已知函数f（x）=ln|x|（x≠0），函数g（x）=（x≠0）
（1）当x≠0时，求函数y=g（x）的表达式；
（2）若a＞0，函数y=g（x）在（0，+∞）上的最小值是2，求a的值；
（3）在（2）的条件下，求直线y=与函数y=g（x）的图象所围成图形的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）对x的取值分类讨论，化简绝对值，求出f′（x）得到x＞0和x＜0导函数相等，代入到g（x）中得到即可；
（2）根据基本不等式得到g（x）的最小值即可求出a；
（3）根据（2）知，先联立直线与函数解析式求出交点，利用定积分求直线和函数图象围成面积的方法求出即可．
解答：解：（1）∵，
∴当x＞0时，，当x＜0时，…（1分）
∴当x＞0时，，当x＜0时，…（2分）
∴当x≠0时，函数…（4分）
（2）∵由（1）知当x＞0时，，
∴当a＞0，x＞0时，当且仅当时取等号 …（6分）
∴函数在上的最小值是…（7分）
∴依题意得∴a=1…（8分）
（用导数求最小值参考给分）
（3）根据（2）知a=1，∴…（9分）
由解得…（10分）
∴直线与函数的图象所围成图形的面积…（11分）

．…（14分）．
点评：考查学生导数运算的能力，理解函数最值及几何意义的能力，利用定积分求平面图形面积的能力．