题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ +ax²+（1-b²）x，m，a，b∈R．
（1）当m=1时，若函数f（x）是R上的增函数，求a²+b²+2a+4b的最大值；
（2）当a=1，b= $数学公式$ 时，函数f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，求实数m的取值范围．

解：（1）当m=1时，f（x）= $\text{[math]}$ ，∴f^′（x）=x²+2ax+1-b²．
∵函数f（x）是R上的增函数，∴f^′（x）=x²+2ax+1-b²≥0（不恒为0）在R上恒成立，∴△=4a²-4（1-b²）≤0，化为a²+b²≤1．
a²+b²+2a+4b=（a+1）²+（b+2）²-5，
而 $\text{[math]}$ 表示的是点P（-1，-2）到圆面a²+b²≤1上的任意一点的距离，∵点P到此圆面的最大距离为|OP|+r= $\text{[math]}$ +1= $\text{[math]}$ ，
∴a²+b²+2a+4b的最大值= $\text{[math]}$ =1+2 $\text{[math]}$ ．
（2）当a=1，b= $\text{[math]}$ 时，f（x）= $\text{[math]}$ ，∴f^′（x）=mx²+2x-1．
由“函数f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间”其反面是“函数f（x）在（2，+∞）上单调递减或恒为常数”，
先考虑其反面：①无论m什么实数，f（x）不可能为常数．
②若函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，则f^′（x）≤0（不恒为0）恒成立．
∴必有 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
当m=0时，不满足题意，应舍去；
由 $\text{[math]}$ 解得m≤-1，其补集为m＞-1．
故当m＞-1时，函数f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间．
分析：（1）通过求导，利用函数f（x）是R上的增函数，得出a、b满足的条件，把要求化为a²+b²+2a+4b=（a+1）²+（b+2）²-5，而 $\text{[math]}$ 表示的是点P（-1，-2）到a、b满足的区域上的点的距离，先求出其最大值，进而即可得出答案；
（2）由“函数f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间”，可先考虑其反面是“函数f（x）在（2，+∞）上单调递减或恒为常数”，得出m的取值范围，进而即可得出答案．
点评：熟练掌握利用研究函数的单调性、数形结合求最值、“三个二次”的关系是解题的关键．在直接解决问题不好考虑的情况下要善于通过反面问题的解决的方法解决问题．