题目内容

已知椭圆： $数学公式$ ，左右焦点分别为F₁，F₂，过F₁的直线l交椭圆于A，B两点，则 $数学公式$ 的最大值为________．

$\text{[math]}$
分析：如图所示，利用椭圆的定义得到 $\text{[math]}$ =12- $\text{[math]}$ ．因此只有当 $\text{[math]}$ 取得最小值时， $\text{[math]}$ 取得最大值，分AB⊥x轴和AB与x轴不垂直两种情况讨论，当AB与x轴不垂直时，利用弦长公式即可得出，通过比较得到 $\text{[math]}$ 的最小值．
解答：如图所示，
由椭圆的定义可知： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ =12- $\text{[math]}$ ．好
当AB⊥x轴时，把x=-c代入椭圆的方程得 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
此时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =12- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x+c），A（x₁，y₁），
B（x₂，y₂）．
联立 $\text{[math]}$ ，消去y得到（b²+9k²）x²+18k²cx+9k²c²-9b²=0，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
综上可知：只有当AB⊥x轴时， $\text{[math]}$ 取得最小值，此时 $\text{[math]}$ 取得最大值 $\text{[math]}$ ．
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：熟练掌握椭圆的定义、分类讨论的思想方法、直线与圆锥曲线相交时的弦长公式的应用是解题的关键．