Question

在平面直角坐标系中，定义

xn+1=yn-xn yn+1=yn+xn

（n为正整数）为点P_n（x_n，y_n）到点P_n+1（x_n+1，y_n+1）的一个变换，将之称为点变换，已知P₁（0，1），P₂（x₂，y₂），…，P_n+1（x_n+1，y_n+1）…是经过点变换得到的一列点，并记a_n为点P_n与P_n+1间的距离，若数列{a_n}的前n项和为S_n，则S_n为

( 2 )n-1

2 -1

．

Answer 1

分析：由题设可求P₁（0，1），P₂（1，1），由已知，可寻求a_n与a_n-1的关系，可得数列为等比数列，利用等比数列的求和公式，即可得到结论．

解答：解：由题设知P₁（0，1），P₂（1，1），a₁=|P₁P₂|=1，
且当n≥2时，a_n²=|P_nP_n+1|²=（x_n+1-x_n）²-（y_n+1-y_n）²=[（y_n-x_n）-x_n]²+[（y_n+x_n）-y_n]²=5x_n²-4x_ny_n+y_n²
    a_n-1²=|P_n-1P_n|²=（x_n-x_n-1）²-（y_n-y_n-1）²①
由

xn+1=yn-xn yn+1=yn+xn

得 

xn=yn-1-xn-1 yn=yn-1+xn-1

，
∴

xn-1= yn-xn 2 yn-1= yn+xn 2

代入①计算化简得a_n-1²=|P_n-1P_n|²=（

3xn-yn

2

）2+（

yn-xn

2

）2=

1

2

（5x_n²-4x_ny_n+y_n²）=

1

2

a_n²．
∴

an

an-1

=

2

（n≥2），
∴数列{a_n}是以

2

为公比的等比数列，且首项a₁=1，
∴a_n=

2

^n-1，
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=

( 2 )n-1

2 -1

故答案为：

( 2 )n-1

2 -1

点评：本题是新定义类型，实际上考查了等比数列的判定与求和，考查推理、论证、计算能力．探求数列{a_n}的性质并利用得出的性质成为一种需求与自然．