Question

【题目】已知函数

(1)当时，讨论函数零点的个数；

(2)若，当=1时，求证：

Answer 1

【答案】(1) 当 时，函数有两个不同的零点；当 时，函数有且仅有一个零点；当， 函数没有零点.

(2)证明见解析.

【解析】试题分析：（1）对进行化简，构造函数，研究函数h（x）的单调性和最值，即可确定F（x）=f（x）﹣xlnx在定义域内是否存在零点；（2）由（Ⅰ）知，当a=1时f（x）在（0，+∞）上单调递增，要证明f（g（x））＜f（x），只要证明g（x）＜x即可．

详解：

（1）函数 的定义域为

由 得

令 则

由于 ，可知当 当 时

故函数在（0，1）上单调递减，在上单调递增，

故，又

当 时，函数有两个不同的零点；

当 时，函数有且仅有一个零点；

当， 函数没有零点.

（2）函数定义域为 时，

由 得：

时，在上单调递增，且故对任意

所以，要证明，只需证：

只需证：

即证：

即证；

所以，要证明；

令 则

故函数在上单调递增；，