Question

【题目】已知曲线的焦点是，、是曲线上不同两点，且存在实数使得，曲线在点、处的两条切线相交于点．

（1）求点的轨迹方程；

（2）点在轴上，以为直径的圆与的另一交点恰好是的中点，当时，求四边形的面积．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由题意知、、三点共线，可设直线的方程为，并设点，，将直线的方程与曲线的方程联立，并列出韦达定理，利用导数求出曲线在点、处的切线方程，将两切线方程联立，求出点的坐标，即可得出点的轨迹方程；

（2）由，利用坐标运算得出，代入韦达定理解出，根据对称性取，求出线段的中点的坐标为，由转化为可求出点的坐标，并得出点的坐标，利用弦长公式计算出，利用点到直线的距离公式分别计算出和的高，并计算出这两个三角形的面积，相加即可得出四边形的面积.

（1）曲线就是抛物线，它的焦点坐标为．

存在实数使得，则、、三点共线．

当直线斜率不存在时，不符合题意；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与联立消去，整理得，判别式，设，，

则、就是方程的两实根，，．

，，切线斜率，

则曲线在点处的切线方程是，即①．

同理得曲线在点处的切线方程是②．

联立①②得，得，所以点的坐标为.

因此，点的轨迹方程为；

（2）已知，在（1）的解答的基础上，

，，则，.

，解得，，代入中，解得，

注意到对称性，求四边形面积，只需取即可．

，设的中点为，则，．

已知点在以点为直径的圆上，则，

设，由，得，即，

解得，则.

将直线的方程化为，

则点到的距离.

所以．

在（1）的解答中，联立①②消去解得，

则两切线交点坐标为，

时，，此时，点的坐标为．

到的距离．

所以．

又已知、在两侧，所以．