Question

把边长为a的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后，用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器（不计接缝），设容器的高为x，容积为V（x）．
（Ⅰ）写出函数V（x）的解析式，并求出函数的定义域；
（Ⅱ）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据容器的高为x，求得做成的正三棱柱形容器的底边长，从而可得函数V（x）的解析式，函数的定义域；
（Ⅱ）实际问题归结为求函数V（x）在区间(0，

3

6

a)上的最大值点，先求V（x）的极值点，再确定极大值就是最大值即可．

解答：解：（Ⅰ）因为容器的高为x，则做成的正三棱柱形容器的底边长为(a-2

3

x)----（1分）．
则V(x)=

3

4

(a-2

3

x)2x．-------------------------（3分）
函数的定义域为(0，

3

6

a)．-------------------------（4分）
（Ⅱ）实际问题归结为求函数V（x）在区间(0，

3

6

a)上的最大值点．
先求V（x）的极值点．
在开区间(0，

3

6

a)内，V′(x)=9

3

x2-6ax+

3

4

a2--------------------（6分）
令V'（x）=0，即令9

3

x2-6ax+

3

4

a2=0，解得x1=

3

18

a，x2=

3

6

a（舍去）．
因为x1=

3

18

a在区间(0，

3

6

a)内，x₁可能是极值点．
当0＜x＜x₁时，V'（x）＞0；当x1＜x＜

3

6

a时，V'（x）＜0．---------------------（8分）
因此x₁是极大值点，且在区间(0，

3

6

a)内，x₁是唯一的极值点，
所以x=x1=

3

18

a是V（x）的最大值点，并且最大值 f(

3

18

a)=

1

54

a3
即当正三棱柱形容器高为

3

18

a时，容器的容积最大为

1

54

a3．-------------------（10分）

点评：本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，解题的关键是求出体积，利用导数知识求解．单峰函数，极值就是最值．