Question

已知椭圆的离心率为，直线过点_，，且与椭圆相切于点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点、，使得

?若存在，试求出直线的方程；若不存在,请说明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）当时，，

则.   ………………………………………………… 2分

   所以.又，因此所求的切线方程为. ………… 4分

（Ⅱ）.   ………………………… 5分

 （1）当，即时，因为，所以，所以函数在上单调递增.  ………………………………………………………………… 6分

 （2）当，即时，令，则（），

    所以.

   因此，当时，，当时，.

所以函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为.    ………………………………………………………………… 10分

（Ⅲ）当时，函数在上单调递增，则的最小值为，满足题意.       ………………………………………………………………… 11分

 当时，由（Ⅱ）知函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为，则的最小值为，而，不合题意.

所以的取值范围是. ……………………………… 13分