Question

18．设?是1的一个7次虚单位根，则有$\frac{?}{1+{?}^{2}}$+$\frac{{?}^{2}}{1+{?}^{4}}$+$\frac{{?}^{3}}{1{+?}^{6}}$=-2．

Answer 1

分析 由已知得到?⁷=1，1+?+?²+…+?⁶=0，利用这两个性质对所求通分化简求值．

解答 解：?是1的一个7次虚单位根，所以?⁷=1，1+?+?²+…+?⁶=0，
所以，原式=$\frac{?（1+{?}^{4}）（1+{?}^{6}）+{?}^{2}（1+{?}^{2}）（1+{?}^{6}）}{（1+{?}^{2}）（1+{?}^{4}）（1+{?}^{6}）}$+$\frac{{?}^{3}（1+{?}^{2}）（1+{?}^{4}）}{（1+{?}^{2}）（1+{?}^{4}）（1+{?}^{6}）}$
=$\frac{?+1+{?}^{5}+{?}^{4}+{?}^{2}+?+{?}^{4}+{?}^{3}+{?}^{3}+1+{?}^{5}+{?}^{2}}{1+{?}^{4}+{?}^{2}+{?}^{6}+{?}^{6}+{?}^{3}+?+{?}^{5}}$
=$\frac{2（1+?+{?}^{2}+…+{?}^{5}）}{（1+?+{?}^{2}+…+{?}^{6}）}$=$\frac{2（0-{?}^{6}）}{{?}^{6}}$
=-2．
故答案为：-2．

点评 本题考查了与复数的运算类似的虚数单位的运算性质；关键是明确?⁷=1，1+?+?²+…+?⁶=0．