Question

【题目】已知函数

(1)求函数在点处的切线方程；

(2)若存在极小值点与极大值点，求证：

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）根据函数在某点处切线方程的求法求出和可得；

（2）函数存在极小值点与极大值点，即有两个零点，且在零点左右两侧异号，依据根的存在性定理，确定根所在区间即可求解.

(1)解：

，所以函数在点处的切线方程为；

(2)设，则，设，则

所以在上单调递增．

又因为，所以在上，，即

所以在上单调递增．

当时，，所以在上，，即

所以函数在上是单调增函数.

又是奇函数，所以函数在上单调递增，无极值点；

当时，

又因为函数在上单调递增，所以函数在上有且只有一个零点

x	（0，）		(，+∞)
	-	0	+
	↘	极小值	↗

可知是的唯一极小值点，且

又是奇函数，所以函数必存在唯一极大值点，记为，且，

所以，所以成立.