Question

已知f（x）=（x-1）²，g（x）=10（x-1），数列{a_n}满足a1=2，(an+1-an)g(an)+f(an)=0，bn=

9

10

(n+2)(an-1)
（Ⅰ）证明：数列{a_n-1}是等比数列；
（Ⅱ）当n取何值时，b_n取最大值，并求出最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过代入化简整理，利用等比数列的定义即可证明；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，通过作商即可比较出最大值．

解答：（Ⅰ）证明：∵（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0，f（a_n）=(an-1)2，g（a_n）=10（a_n-1）．
∴（a_n+1-a_n）×10（a_n-1）+(an-1)2=0，化为（a_n-1）（10a_n+1-9a_n-1）=0．
又a₁=2，可知：对任意的n∈N^*，a_n-1≠0．
∴10a_n+1-9a_n-1=0，化为10（a_n+1-1）=9（a_n-1）．
∴

an+1-1

an-1

=

9

10

，
∴数列{a_n-1}是以a₁-1=1为首项，

9

10

为公比的等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知：an-1=1×(

9

10

)n-1，
∴bn=

9

10

(n+2)×(

9

10

)n-1=(n+2)×(

9

10

)n．
∴

bn+1

bn

=

(n+3)×( 9 10 )n+1

(n+2)( 9 10 )n

=

9

10

×(1+

1

n+2

)．
当n=7时，

b8

b7

=

9

10

×

10

9

=1，即b₈=b₇；
当n＜7时，

bn+1

bn

＞1，b_n+1＞b_n；
当n＞7时，

bn+1

bn

＜1，b_n+1＜b_n．
∴当n=7或8时，b₈=b₇=

98

107

取得最大值．

点评：熟练掌握等比数列的定义、通过作商法比较大小是解题的关键．