Question

（本题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，在棱上．

（I）当时，求证平面

（II）当二面角的大小为时，求直线与平面所成角的正弦值．

 

Answer 1

【答案】

（I）见解析（II）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）在平行四边形中，

由，，，

易知，                                                        ……2分

又平面，所以平面,∴，

在直角三角形中，易得，

在直角三角形中，，，又，∴，

可得

.

∴，                                                        ……5分

又∵，∴平面．                               ……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,,，

可知为二面角的平面角，

，此时为的中点.                                     ……8分

过作,连结,则平面平面,

作,则平面,连结,

可得为直线与平面所成的角．

因为,,

所以.                                         ……10分

在中，，

直线与平面所成角的正弦值为.                          ……12分

解法二：依题意易知，平面ACD．以A为坐标原点，AC、AD、SA分别为轴建立空间直角坐标系，则易得，

（Ⅰ）由有，                                 ……3分

易得，从而平面．                             ……6分

 (Ⅱ)由平面，二面角的平面角.

又，则 为的中点，

即 ,                                                  ……8分

设平面的法向量为

则，令,得，                  ……10分

从而，

直线与平面所成角的正弦值为.                         ……12分

考点：本小题主要考查线面垂直的证明和线面角的求法，考查学生的空间想象能力和运算求解能力.

点评：解决空间立体几何问题可以用传统的方法证明也可以用向量方法来证明，用传统方法证明时，要把证明所用的定理的条件摆清楚，缺一不可，用向量方法时，运算量比较大.