Question

如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削   去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图．在直观图中，是的中点.侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.

（Ⅰ）求出该几何体的体积；

（Ⅱ）求证：EM∥平面ABC；

 (Ⅲ) 试问在棱DC上是否存在点N，使NM⊥平面？ 若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：由题意，Ea⊥平面ABC , DC⊥平面ABC ,AE∥DC,ae=2, dc=4 ,ab⊥ac,

且AB=AC=2

（Ⅰ）∵Ea⊥平面ABC，

∴ea⊥ab, 又ab⊥ac,∴ab⊥平面acde

∴四棱锥b-acde的高h=ab=2，

梯形acde的面积S= 6

∴，

即所求几何体的体积为4………４分

（Ⅱ）证明：∵m为db的中点，取bc中点G，连接em,mG,aG，

∴ mG∥DC，且 ∴ mG ae，∴四边形aGme为平行四边形，

∴em∥aG, 又AG平面ABC   ∴EM∥平面ABC.　　……8分

（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）知，em∥aG，

又∵平面BCD⊥底面ABC，aG⊥bc,∴AG⊥平面BCD

∴EM⊥平面BCD，又∵EM平面BDE，

∴平面BDE⊥平面BCD

在平面BCD中，过M作MN⊥DB交DC于点N,

∴MN⊥平面BDE  点n即为所求的点∽

 

∴边DC上存在点N，满足DN=DC时，有NM⊥平面BDE.　　……13分

解法2：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则 A（0，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0）

D（－2，0，4），E（0，0，2），M（-1，1，2），

（2，2，-4），（2，0，-2），

（0，0，-4），（1，1，-2）.

假设在DC边上存在点N满足题意，

∴边DC上存在点N，满足DN=DC时，NM⊥平面BDE.　　 ……13分