Question

已知圆和点.

(1)求以点为圆心，且被轴截得的弦长为的圆⊙的方程；

(2)过点向圆O引切线，求直线的方程；

(3)设为⊙上任一点，过点向圆O引切线，切点为Q. 试探究:平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

解：（Ⅰ）设圆的半径为，则 ……………………………………3分

∴⊙的方程为  ……………………………………………………5分

（Ⅱ）设切线方程为 ，易得，解得……………8分

  ∴切线方程为 ………………………………………………………10分

（Ⅲ）假设存在这样的点，点的坐标为，相应的定值为，

根据题意可得，∴…………………………12分

即   （*），

又点在圆上∴，即，代入（*）式得：

  ………………………………14分

若系数对应相等，则等式恒成立，∴，

解得，

∴可以找到这样的定点，使得为定值. 如点的坐标为时，比值为；

点的坐标为时，比值为…………………………………………………………16分