Question

若数列{a_n}的前n项和S_n是（1+x）ⁿ二项展开式中各项系数的和（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁=-1，b_n+1=b_n+（2n-1），且c_n=

an•bn

n

，求数列{c_n}的通项及其前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意S_n=2ⁿ，由项与前n项和的关系a_n=

s1        n=1 sn-sn-1  n≥2

得{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由b_n+1=b_n+（2n-1）得b_n+1-b_n=2n-1，令n=1、2、3、…n-1得n-1个式子，以上各式相加得b_n-b₁=1+3+5+…+（2n-3），可求b_n=n²-2n，进而求c_n，由错位相减法得数列{c_n}的通项及其前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）由题意S_n=2ⁿ，S_n-1=2^n-1（n≥2），
两式相减得a_n=2ⁿ-2^n-1=2^n-1（n≥2）．
当n=1时，a₁=S₁=2，
∴a_n=

2       n=1 2n-1   n≥2

．
（Ⅱ）∵b_n+1=b_n+（2n-1），
∴b_n-b_n-1=2n-3
b_n-1-b_n-2=2n-5
…
b₄-b₃=5
b₃-b₂=3
b₂-b₁=1，
以上各式相加得b_n-b₁=1+3+5+…+（2n-3）
=

(n-1)(1+2n+3)

2

=（n-1）²
∵b₁=-1，∴b_n=n²-2n．
∴cn=

-2，n=1 (n-2)×2n-1，n≥2

．
∴T_n=-2+0×2¹+1×2²+2×2³+…+（n-2）×2^n-1，
∴2T_n=-4+0×2²+1×2³+2×2⁴+…+（n-2）×2ⁿ．
∴-T_n=2+2²+2³+…+2^n-1-（n-2）×2ⁿ
=

2(1-2n-1)

1-2

-(n-2)×2n
=2ⁿ-2-（n-2）×2ⁿ=-2-（n-3）×2ⁿ．
∴T_n=2+（n-3）×2ⁿ．

点评：应用项与前n项和之间的关系时，注意n=1的时候；求通项公式，若两项之差为n的一次式，可用累加法；用错位相减法求数列的前n项和，用时要观察项的特征，是否是等差数列的项与等比数列的项的乘积．