Question

已知椭圆的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，其中a²=4c，直线l：3x-2y=0与椭圆的交点在x轴上的射影恰为椭圆的焦点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆在x轴上方的一个交点为P，F是椭圆的右焦点，试探究以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆的左右焦点分别为F₁（-c，0）、F₂（c，0），由题意可得直线3x-2y=0与椭圆的一个交点坐标是M(c，

3c

2

)，由椭圆定义可得4c=2a①，再由

a2

c

=4②，a²=b²+c²③，可得a，b，c；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，直线与椭圆的一个交点为P（1，

3

2

），F（1，0），由已知易求两圆的方程，求出圆心距，可得与两圆半径间的关系，由此可作出位置判断；

解答：解：（Ⅰ）设椭圆的左右焦点分别为F₁（-c，0）、F₂（c，0），
直线3x-2y=0与椭圆的一个交点坐标是M(c，

3c

2

)，
根据椭圆的定义得：|MF₁|+|MF₂|=2a，
即

[c-(-c)]2+( 3c 2 )2

+

(c-c)2+( 3c 2 )2

=2a，即4c=2a①，
又

a2

c

=4②，a²=b²+c²③，联立①②③三式解得a=2，b=

3

，c=1，
所以椭圆的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，直线与椭圆的一个交点为P（1，

3

2

），F（1，0），
则以PF为直径的圆的方程是(x-1)2+(y-

3

4

)2=

9

16

，圆心为（1，

3

4

），半径为

3

4

，；
以椭圆长轴为直径的圆的方程是x²+y²=4，圆心是（0，0），半径是2，
两圆心距为

12+( 3 4 )2

=

5

4

=2-

3

4

，所以两圆内切．

点评：本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、圆与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．