Question

（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.
已知的三个顶点在抛物线:上运动，
（1）. 求的焦点坐标；
（2）. 若点在坐标原点， 且，点在上，且 ，
求点的轨迹方程；
（3）. 试研究: 是否存在一条边所在直线的斜率为的正三角形，若存在，求出这个正三角形的边长，若不存在，说明理由.

Answer 1

(1) 【解】. 由得所以,焦点坐标为　　　　　　　　……3分
(2) 【解1】设点的坐标为,边所在的方程为(显然存在的),与抛物线交于                 
则得,                   ……5分
又点在抛物线上,故有,
  或(舍)
 -------①                                           ……7分
又的斜率为,则有  ,既代入①
故点轨迹为  (注:没写扣1分)       ……9分
另解:由上式①过定点,,
所以, , 既
【解2】设点的坐标为,方程为,由得方程为
,则得, 同理可得
方程为恒过定点,
 ,
所以, , 既
(注:没写扣1分)
（其他解法,可根据【解1】的评分标准给分）
(3) 【解1】
若存在边所在直线的斜率为的正三角形,设,
(其中不妨设), 则 ,    ------① ……11分
令,则,即
将①代入得,,                                
   -----------------②                         ……13分
线段的中点为,由①, ②得的横坐标为,
的纵坐标为                 ……15分
又设由得
 点在抛物线上,则,即,
又因为 ,                                          ……18分
设,
的三边所在直线的斜率分别是
   ------①    ……12分
若边所在直线的斜率为,边所在直线和轴的正方向所成角为
,则,
所以                                         ……14分
即-----②    
又--------------③                            ……16分
所以,
将②, ③代入上式得边长                                      ……18分
（其他解法,可根据【解1】的评分标准给分）

略