题目内容

如图，将边长为3的正方形ABCD绕中心O顺时针旋转α （0＜α＜ $数学公式$ ）得到正方形A′B′C′D′．根据平面几何知识，有以下两个结论：
①∠A′FE=α；
②对任意α （0＜α＜ $数学公式$ ），△EAL，△EA′F，△GBF，△GB′H，△ICH，△IC′J，△KDJ，△KD′L均是全等三角形．
（1）设A′E=x，将x表示为α的函数；
（2）试确定α，使正方形A′B′C′D′与正方形ABCD重叠部分面积最小，并求最小面积．

解：（1）在Rt△EA′F中，因为∠A′FE=α，A′E=x，
所以EF= $\text{[math]}$ ，A′F= $\text{[math]}$ ．
由题意AE=A′E=x，BF=A′F= $\text{[math]}$ ，
所以AB=AE+EF+BF=x+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =3．
所以x= $\text{[math]}$ ，α∈（0， $\text{[math]}$ ） …（6分）
（2）S_△A′EF= $\text{[math]}$ •A′E•A′F= $\text{[math]}$ •x• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
=（ $\text{[math]}$ ）²• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ． …（10分）
令t=sinα+cosα，则sinαcosα= $\text{[math]}$ ．
因为α∈（0， $\text{[math]}$ ），所以α+ $\text{[math]}$ ∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），所以t= $\text{[math]}$ sin（α+ $\text{[math]}$ ）∈（1， $\text{[math]}$ ]．
S_△A′EF= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ ）≤ $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ ）．
正方形A′B′C′D′与正方形ABCD重叠部分面积S=S_{正方形A′B′C′D′}-4S_△A′EF≥9-9 （1- $\text{[math]}$ ）=18（ $\text{[math]}$ -1）．
当t= $\text{[math]}$ ，即α= $\text{[math]}$ 时等号成立． …（15分）
答：当α= $\text{[math]}$ 时，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD重叠部分面积最小，最小值为18（ $\text{[math]}$ -1）．…（16分）
分析：（1）利用AB=AE+EF+BF=3，表示出相应线段长，即可将x表示为α的函数；
（2）求正方形A′B′C′D′与正方形ABCD重叠部分面积最小，即求S_△A′EF的最大值，表示出S_△A′EF，利用换元法，即可求得面积的最大值，从而可得结论．
点评：本题考查函数模型的构建，考查面积的计算，考查换元法，考查学生利用数学知识解决实际问题，属于中档题．