Question

已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(-

2

，0)，(

2

，0)，离心率是

6

3

，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P，圆心为P．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；
（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当T变化时，求y的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据离心率和焦半径求得a，进而根据a，b和c的关系求得c，则椭圆方程可得．
（Ⅱ）根据题意可知P的坐标，根据圆P与x轴相切求得x，则圆的半径的表达式可得，进而求得t，则点P的坐标可得．
（Ⅲ）由（2）知圆P的方程，把点Q代入圆的方程，求得y和t的关系，设t=cosθ，利用两角和公式化简整理根据正弦函数的性质求得y的最大值．

解答：解：（Ⅰ）因为

c

a

=

6

3

，且c=

2

，所以a=

3

，b=

a2-c2

=1
所以椭圆C的方程为

x2

3

+y2=1
（Ⅱ）由题意知p（0，t）（-1＜t＜1）
由

y=t x2 3 +y2=1

得x=±

3(1-t2)

所以圆P的半径为

3(1-t2)

，
则有t²=3（1-t²），
解得t=±

3

2

所以点P的坐标是（0，±

3

2

）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P的方程x²+（y-t）²=3（1-t²）．因为点Q（x，y）在圆P上．所以y=t±

3(1-t2)-x2

≤t+

3(1-t2)

设t=cosθ，θ∈（0，π），则t+

3(1-t2)

=cosθ+

3

sinθ=2sin(θ+

π

6

)
当θ=

π

3

，即t=

1

2

，且x=0，y取最大值2．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．