Question

（本题满分13分）已知动点到点的距离，等于它到直线的距离．

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）过点任意作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点和．设线段，的中点分别为，求证：直线恒过一个定点；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求面积的最小值．

 

Answer 1

解：（Ⅰ）设动点的坐标为，由题意得，，

化简得，所以点的轨迹的方程为．       ……4分

（Ⅱ）设两点坐标分别为，，则点的坐标为．由题意可设直线的方程为 ，

由得.

.

因为直线与曲线于两点，所以，．所以点的坐标为.

由题知，直线的斜率为，同理可得点的坐标为.

当时，有，此时直线的斜率.

所以，直线的方程为，

整理得.于是，直线恒过定点；

当时，直线的方程为，也过点．

综上所述，直线恒过定点．          …………10分

（Ⅲ），面积.

当且仅当时，“”成立，所以面积的最小值为．……13分