Question

20．设a是实数，函数f（x）=e^2x+|e^x-a|（x∈R）．
（1）求证：函数f（x）不是奇函数；
（2）当a≤0时，判断f（x）的增减性；
（3）当a＞0时，求函数f（x）的最小值（用a表示）．

Answer 1

分析 （1）利用反证法，假设f（x）是奇函数，则f（-x）=-f（x），推出矛盾结果，即可证明函数f（x）不是奇函数；
（2）利用换元法结合复合函数单调性之间的关系进行判断即可；
（3）通过当a≤0，$0≤a≤\frac{1}{2}$，$a≥\frac{1}{2}$，分别求函数f（x）的最小值（用a表示）即可．

解答 证明：（1）假设f（x）是奇函数，则f（-x）=-f（x），
而x∈R，则f（0）=0，而f（0）=e⁰+|e⁰-a|=1+|1-a|≠0，故假设不成立，
从而函数f（x）不是奇函数．
解：（2）当a≤0时，f（x）=e^2x+e^x-a，
设t=e^x，则t＞0，y=h（t）=t²+t-a=（t+$\frac{1}{2}$）²-a-$\frac{1}{4}$，
当t＞0时，h（t）单调增，而t=e^x，也为增函数，
根据复合函数的单调性的关系得f（x）为增函数．
（3）设t=e^x，则t＞0，y=f（x）=t²+|t-a|，
当a≤0时，y=f（x）=t²+t-a在t＞0时单调增，则f（x）＞f（0）=-a；
当$0≤a≤\frac{1}{2}$时，y=f（x）=t²+t-a≥f（a）=a²；
当$a≥\frac{1}{2}$时，$y=f（x）={t^2}+t-a≥f（\frac{1}{2}）=a-\frac{1}{4}$；
故当a≤0时，f（x）的最小值为f（x）_min=-a；
当$0≤a≤\frac{1}{2}$时，f（x）的最小值为f（x）_min=a²，
当$a≥\frac{1}{2}$时，f（x）的最小值为f（x）_min=a-$\frac{1}{4}$

点评 本题考查函数的单调性的应用，函数的最值的求解，利用分段函数的性质结合分类讨论思想是解决本题的关键．考查转化思想计算能力．