题目内容

已知f（x）=sinx+2sin(
π
4
+
x
2
)cos(
π
4
+
x
2
)．
（Ⅰ）若f(α)=
2
2
，α∈(-
π
2
，0)，求α的值；
（Ⅱ）若sin
x
2
=
4
5
，x∈(
π
2
，π)，求f（x）的值．
分析：首先利用正弦的倍角公式与正余弦互化公式把函数f（x）转化为y=Asin（ωx+φ）的形式；
（Ⅰ）利用特殊角三角函数值即可解之；
（Ⅱ）先由sin
x
2
求得cos
x
2
，再求sinx、cosx，则问题解决．
解答：解：f（x）=sinx+2sin(
π
4
+
x
2
)cos(
π
4
+
x
2
)
=sinx+sin(x+
π
2
)
=sinx+cosx
=
2
sin(x+
π
4
).
（Ⅰ）由f(α)=
2
2
，得
2
sin(α+
π
4
)=
2
2
，
∴sin(α+
π
4
)=
1
2
.
∵α∈(-
π
2
，0)，∴α+
π
4
∈(-
π
4
，
π
4
)，
∴α+
π
4
=
π
6
，∴α=-
π
12
.
（Ⅱ）∵x∈(
π
2
，π)，∴
x
2
∈(
π
4
，
π
2
)，
又sin
x
2
=
4
5
，∴cos
x
2
=
3
5
，
∴sinx=2sin
x
2
cos
x
2
=
24
25
，cosx=-
1-sin2x
=-
7
25
.
∴f（x）=sinx+cosx=
24
25
-
7
25
=
17
25
.
点评：本题综合考查倍角公式、和角公式、正余弦关系式及诱导公式，同时考查三角函数变形为y=Asin（ωx+φ）的转化思想．
练习册系列答案
相关题目
已知f（x）=sin（x+
π
2
），g（x）=cos（x-
π
2
），则f（x）的图象（　　）
A、与g（x）的图象相同
B、与g（x）的图象关于y轴对称
C、向左平移
π
2
个单位，得到g（x）的图象
D、向右平移
π
2
个单位，得到g（x）的图象
已知f（x）=
sinπx   (x＜0)
f(x-1)-1 (x＞0)
，则f（-
11
6
）+f（
11
6
）=
-2
-2
．
已知f（x）=sin（ωx+
π
3
）（ω＞0）的图象与y=-1的图象的相邻两交点间的距离为π，要得到y=f（x）的图象，只需把y=cos2x的图象（　　）
已知f（x）=sin（x+
π
2
），g（x）=cos（x-
π
2
），则f（x）的图象（　　）
已知f（x）=sinπx．
（1）设g(x)=
f(x)，(x≥0)
g(x+1)+1，(x＜0)
，求g(
1
4
)和g(-
1
3
)；
（2）设h(x)=f2(x)+
3
f(x)cosπx+1，求h（x）的最大值及此时x值的集合．

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