Question

已知函数

（Ⅰ）求处的切线方程；

（Ⅱ）若不等式恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）数列，数列满足的前项和为，求证：

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）证明见解析．

【解析】

试题分析：

解题思路：（1）求导，利用导数的几何意义求斜率，进而写出切线方程；（2）本题有两种思路：①转化为；②分离常数，转化为；（3）构造新数列，利用放缩法和裂项抵消法进行证明.

规律总结：导数的几何意义求切线方程：；利用导数研究函数的单调性、极值、最值及与函数有关的综合题，都体现了导数的重要性；此类问题往往从求导入手，思路清晰；但综合性较强，需学生有较高的逻辑思维和运算能力.

试题解析：（Ⅰ） ，，切点是，

所以切线方程为，即．

（Ⅱ）（法一），

①当时， ，，单调递增，

显然当时，，不恒成立．　

②当时， ，，单调递增，

，，单调递减，　　

，，

所以不等式恒成立时，的取值范围 　　

（法二）所以不等式恒成立，等价于，

令，则，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增．　

，．

所以不等式恒成立时，的取值范围．

（Ⅲ） ，，

，

，

由（2）知，当时，恒成立，即，当且仅当取等号．

　，，

，

，

令，

则，

，

，.

考点：1.导数的几何意义；2.不等式恒成立问题；3.数列的求和.