Question

17．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（1）=$\frac{5}{2}$，且对于任意实数x，y，总有f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）成立．
（1）求f（0）的值，并证明f（x）为偶函数；
（2）若数列{a_n}满足a_n=2f（n+1）-f（n）（n=1，2，3，…），求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）直接 令x=1，y=0，再结合f（1）=$\frac{5}{2}$，即可求出f（0）的值；最后令x=0，即可得到函数f（x）为偶函数；
（2）先令x=y=1，求出f（2），进而求出a₁，再令x=n+1，y=1得到f（n+2）=$\frac{5}{2}$f（n+1）-f（n），即可求出数列{a_n}相邻两项之间的关系，找到其规律即可求{a_n}的通项公式；

解答 解：（1）∵对于任意实数x，y，总有f（1）=$\frac{5}{2}$，且f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）成立．
令x=1．y=0，则f（1）f（0）=f（1）+f（1），即$\frac{5}{2}$f（0）=5，
解得：f（0）=2，
用-x代换x可得：f（-x）f（y）=f（x+y）+f（x-y），
即f（x）f（y）=f（-x）f（y）对于任意y恒成立，
故f（x）=f（-x）恒成立，
故f（x）为偶函数；
（2）（II）令x=y=1，得 f（1）f（1）=f（2）+f（0）．
∴$\frac{25}{4}$=f（2）+2．
∴f（2）=$\frac{17}{4}$．
∴a₁=2f（2）-f（1）=$\frac{17}{2}$-$\frac{5}{2}$=6，
令x=n+1，y=1，得f（n+1）f（1）=f（n+2）+f（n）．
∴f（n+2）=$\frac{5}{2}$f（n+1）-f（n），
a_n+1=2f（n+2）-f（n+1）=2[$\frac{5}{2}$f（n+1）-f（n）]-f（n+1）]=4f（n+1）-2f（n）=2[f（n+1）-2f（n）]=2a_n（n≥1）．
∴{a_n}是以6为首项，以2为公比的等比数列，
所以a_n=6•2^n-1=3•2ⁿ．

点评 本题考查的知识点是抽象函数的应用，根据已知令x，y等于适合的值，进而“凑”出要解答或证明的结论，是解答的关键．