题目内容

已知椭圆 $数学公式$ （a＞b＞0）的长轴长为 $数学公式$ ，点P（2，1）在椭圆上，平行于OP（O为坐标原点）的直线l交椭圆于A，B两点，l在y轴上的截距为m．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）设直线PA，PB的斜率分别为k₁，k₂，那么k₁+k₂是否为定值，若是求出该定值，若不是请说明理由．

解：（I）由已知可知 $\text{[math]}$ …（1分）
设椭圆方程为 $\text{[math]}$ ，将点P（2，1）代入解得b²=2…（3分）
∴椭圆方程为 $\text{[math]}$ …（4分）
（II）∵直线l平行于OP，且在y轴上的截距为m，又 $\text{[math]}$
∴l的方程为：y= $\text{[math]}$ （m≠0）…（6分）
代入椭圆方程，消元可得x²+2mx+2m²-4=0 ①…（7分）
∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，解得-2＜m＜2，且m≠0．
所以m的取值范围是（-2，0）∪（0，2）．…（9分）
（III）k₁+k₂=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由①得 $\text{[math]}$ ．…（10分）
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴k₁+k₂=0…（14分）
分析：（I）设椭圆方程为 $\text{[math]}$ ，将点P（2，1）代入，即可求得椭圆方程；
（II）l的方程代入椭圆方程，可得一元二次方程，利用直线l与椭圆交于A、B两个不同点，即可确定m的取值范围；
（III）利用韦达定理 $\text{[math]}$ ，及 $\text{[math]}$ ，可得k₁+k₂=0．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．