Question

已知椭圆(a>b>0)抛物线，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：

		4		1
	2	4		2

（1）求的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若,

(i) 求的最值.
(ii) 求四边形ABCD的面积；

Answer 1

(2)当k=0(此时满足①式),即直线AB平行于x轴时，的最小值为-2.
又直线AB的斜率不存在时，所以的最大值为2.
(ii).

解析试题分析：
利用待定系数法，将点（0，2），（，）代入椭圆方程，将（4，4），（1，2）代入抛物线方程，可得 
(2)设直线AB的方程为，设
联立，得 
  ①
                  
   

=      
   
 

当k=0(此时满足①式),即直线AB平行于x轴时，的最小值为-2.
又直线AB的斜率不存在时，所以的最大值为2.  11分
(ii)设原点到直线AB的距离为d，则

.   13分
考点：待定系数法，平面向量的坐标运算，椭圆、抛物线的标准方程，直线与椭圆的位置关系。
点评：中档题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题求椭圆、抛物线的标准方程，主要运用了待定系数法。作为研究图形的面积，涉及弦长公式的应用，利用韦达定理，简化了计算过程。