Question

（2010•九江二模）已知数列{a_n}满足：①{

an

n

}是公差为1的等差数列；②an+1=

n+2

n

an+1．(n∈N+)
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；（2）设Cn=

2 n

an

(n≥2)，求证：C₁+C₂+C₃+…+C_n＜6．

Answer 1

分析：（1）解法一：由条件

a2 2 - a1 1 =1 a2=3a1+1

解得a₁=1，a₂=4，求出{

an

n

}首项，利用等差数列通项公式求出{

an

n

}通项后，再求数列{a_n}的通项公式a_n；
解法二：由an+1=

n+2

n

an+1+1得

an+1

n+1

=

n+2

n+1

•

an

n

+

1

n+1

，转化构造出

an

n(n+1)

+

1

n+1

=1从而an=n2
（2）Cn=

2 n

n2

=

2

n n

=

4

n n +n n

＜

4

(n-1) n +n n-1

=

4

n(n-1) ( n-1 + n )

裂项后相加求和，再与6比较．

解答：解：（1）解法一：由条件

a2 2 - a1 1 =1 a2=3a1+1

解得a₁=1，a₂=4…（3分）
又{

an

n

}是公差为1的等差数列，
∴

an

n

=1+(n-1)•1∴an=n2…（6分）
解法二：由an+1=

n+2

n

an+1+1得

an+1

n+1

=

n+2

n+1

•

an

n

+

1

n+1

，
即

an+1

n+1

-

an

n

=

an

n(n+1)

+

1

n+1

…（3分）
又{

an

n

}是公差为1的等差数列，即

an+1

n+1

-

an

n

=1
∴

an

n(n+1)

+

1

n+1

=1从而an=n2…（6分）
（2）Cn=

2 n

n2

=

2

n n

=

4

n n +n n

＜

4

(n-1) n +n n-1

=

4

n(n-1) ( n-1 + n )

∴n≥2时，Cn＜

4( n - n-1 )

n(n-1)

=4(

1

n-1

-

1

n

)…(9分)
∴C1+C2+C3+…+Cn＜C1+4[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)]=2+4(1-

1

n

)＜6…（12分）

点评：本题考查了数列通项公式求解，裂项法求和．要求具有转化、变形构造、计算的能力．