Question

数列{a_n}满足a1=2，a_n+1=a_n²+6a_n+6（n∈N^×）
（Ⅰ）设C_n=log₅（a_n+3），求证{C_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设，数列{b_n}的前n项的和为T_n，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知可得，a_n+1+3=（a_n+3）²，利用构造法令C_n=log₅（a_n+3），则可得，从而可证数列{c_n}为等比数列
（II）由（I）可先求数列c_n，代入c_n=log₅（a_n+3）可求a_n
（III）把（II）中的结果代入整理可得，，则代入T_n=b₁+b₂+…+b_n相消可证
解答：解：（Ⅰ）由a_n+1=a_n²+6a_n+6得a_n+1+3=（a_n+3）²，
∴=2，即c_n+1=2c_n
∴{c_n}是以2为公比的等比数列．
（Ⅱ）又c₁=log₅5=1，
∴c_n=2^n-1，即=2^n-1，
∴a_n+3=
故a_n=-3
（Ⅲ）∵b_n=-=-，∴T_n=-=--．
又0＜=．
∴-≤T_n＜-
点评：本题考查了利用定义证明等比数列：数列{a_n}为等比数列?；利用构造法求数列的通项公式及数列的求和公式，属于对基本知识的综合考查．试题难度不大．