Question

已知函数f（x）=

ax2+4

x

，且f（1）=5
（1）求a的值
（2）判断函数f（x）的奇偶性
（3）若x∈（0，+∞），求函数f（x）的最小值，并求出相应的x的值．

Answer 1

分析：（1）依条件有f（1）=a+4=5，由此可得a的值．
（2）由（1）可知f（x）=

x2+4

x

，显然f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，且满足f（-x）=f（x），可得函数f（x）为奇函数．
（3）由x＞0，

4

x

＞0，f（x）=

x2+4

x

=x+

4

x

，利用基本不等式求得它的最小值．

解答：解：（1）依条件有f（1）=a+4=5，所以a=1．…（3分）
（2）由（1）可知f（x）=

x2+4

x

．显然f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）．
对于任意的x∈（-∞，0）∪（0，+∞），有-x∈（-∞，0）∪（0，+∞），
所以f（-x）=

(-x)2+4

(-x)

=

x2+4

x

=f（x）．
所以函数f（x）为奇函数．…（6分）
（3）∵x∈（0，+∞），∴x＞0，

4

x

＞0．
故f（x）=

x2+4

x

=x+

4

x

≥2

4

=4，
当且仅当x=

4

x

即x=2时，函数f（x）取得的最小值为4．…（10分）

点评：本题主要考查函数的奇偶性、基本不等式的应用，属于中档题．