Question

在数列a_n中，a₁=2，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹（n∈N）．
（1）求证：数列{

an

2n

}为等差数列；
（2）若m为正整数，当2≤n≤m时，求证：(m-n+1)(

n•3n

an

)

1

m

≤

m2-1

m

Answer 1

分析：（I）把题设中数列递推式变形得

an+1

2n+1

-

an

2n

=1，根据等差数列的定义判断出数列{

an

2n

}是等差数列．
（II）根据（I）可求得数列{

an

2n

}的通项公式，进而求得a_n，令f（n）=f(n)=(m-n+1)•(

3

2

)

n

m

，则可表示出f（n+1），进而求得当m≥n≥2时

f(n)

f(n+1)

的表达式，进而求得解决大于1，判断出f（n）为递减数列，进而可推断出f（n）的最大值为
f（2），进而问题转化为证明f（2）≤

m2-1

m

．进而根据(1+

1

m

)m≥2+

1

m2

•

m(m-1)

2

推断出

9

4

≤(

m+1

m

)m=(1+

1

m

)m进而可知(m-n+1)(

3

2

)

n

m

≤

m2-1

m

原式得证．

解答：解：（I）由a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹变形得：

an+1

2n+1

=

an

2n

+1，即

an+1

2n+1

-

an

2n

=1
故数列{

an

2n

}是以

a1

2

=1为首项，1为公差的等差数列
（II）由（I）得a_n=n•2ⁿ(m-n+1)(

n•3n

an

)

1

m

≤

m2-1

m

即(m-n+1)(

3

2

)

n

m

≤

m2-1

m

令f(n)=(m-n+1)•(

3

2

)

n

m

，则f(n+1)=(m-n)•(

3

2

)

n+1

m

当m＞n≥2时，

f(n)

f(n+1)

=

m-n+1

m-n

•(

2

3

)

1

m

=(1+

1

m-n

)•(

2

3

)

1

m

≥(1+

1

m-2

)•(

2

3

)

1

m

又(1+

1

m-2

)m=1+

C

1 m

•

1

m-2

+＞1+

m

m-2

＞2＞

3

2

∴1+

1

m-2

＞(

3

2

)

1

m

则

f(n)

f(n+1)

＞1，则f(n)为递减数列．
当m=n时，f（n）＞f（n+1）
∴当m≥n≥2时，f（n）递减数列．
∴f(x)max=f(2)=(

9

4

)

1

m

(m-1)，故只需证(

9

4

)

1

m

(m-1)≤

m2-1

m

要证：(m-n+1)(

3

2

)

n

m

≤

m2-1

m

即证

9

4

≤(

m+1

m

)m=(1+

1

m

)m，而m≥2时，(1+

1

m

)m≥

C

0 m

+

C

1 m

•

1

m

+

C

0 m

•

1

m2

=2+

1

m2

•

m(m-1)

2

=2+

m-1

2m

=2+

1

2

-

1

2m

≥2+

1

2

-

1

2×2

=

9

4

故原不等式成立．

点评：本题主要考查了等差关系的确定，数列与不等式的综合运用．考查了考生综合分析问题和演绎推理的能力，转化和化归思想的运用．属中档题．