Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为4，点E，F分别是线段AB，C₁D₁上的动点，点P是上底面A₁B₁C₁D₁内一动点，且满足点P到点F的距离等于点P到平面ABB₁A₁的距离，则当点P运动时，PE的最小值是（　　）

• A、5
• B、4
• C、4

  2

• D、2

  5

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，当E、F分别是AB、C₁D₁上的中点，P为正方形A₁B₁C₁D₁时，PE取最小值，由此能求出结果．

解答： 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
设AE=a，D₁F=b，0≤a≤4，0≤b≤4，P（x，y，4），0≤x≤4，0≤y≤4，
则F（0，b，4），E（4，a，0），

PF

=（-x，b-y，0），
∵点P到点F的距离等于点P到平面ABB₁A₁的距离，
∴当E、F分别是AB、C₁D₁上的中点，P为正方形A₁B₁C₁D₁时，
PE取最小值，
此时，P（2，2，4），E（4，2，0），
∴|PE|_min=

(2-4)2+(2-2)2+(4-0)2

=2

5

．
故选：D．

点评：本题考查空间直线与平面的位置关系、空间向量的运算等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力、空间想象能力，考查数形结合、转化与化归等数学思想方法及创新意识．