Question

已知数列{x_n}满足x₁=x₂=1，并且=λ(λ为非零参数，n=2,3,4,…).

(1)若x₁、x₃、x₅成等比数列，求参数λ的值；

(2)设0＜λ＜1，常数k∈N^*且k≥3，证明++…+＜(n∈N^*).

Answer 1

(1)解：由已知x₁=x₂=1，且=λx₃=λ，=λx₄=λ³，=λx₅=λ⁶.

    若x₁、x₃、x₅成等比数列，则=x₁x₅，即λ²=λ⁶，而λ≠0，解得λ=±1.

(2)证明：设a_n=，由已知，数列{a_n}是以=1为首项，λ为公比的等比数列，故=λ^n-1，则=··…·

=λ^n+k-2·λ^n+k-3·…·λ^n-1=.

    因此，对任意n∈N^*，

++…+

=+λ^2k++…+

=λ(λ^k+λ^2k+…+λ^nk)=λ.

    当k≥3且0＜λ＜1时,0＜λ≤1，0＜1-λ^nk＜1,

    所以++…+＜(n∈N^*).