题目内容
设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出下列四个命题：
①c=0时，f（x）是奇函数；
②b=0，c＞0时，方程f（x）=0只有一个实根；
③f（x）的图象关于（0，c）对称；
④方程f（x）=0至多两个实根．
其中正确的命题是
- A.①④
- B.①③
- C.①②③
- D.①②④
C
分析：①c=0时，可由奇函数的定义判断正确．③由①可知c=0时，f（x）图象关于原点对称，故f（x）=x|x|+bx+c的图象由y=x|x|+bx向上或向下平移|c|个单位，故关于（0，c）对称正确；②④中取b=-3，c=2即可判断错误．
解答：①c=0时，f（-x）=-x|x|-bx=-f（x），故f（x）是奇函数，故①正确；
③由①可知c=0时，f（x）图象关于原点对称，f（x）=x|x|+bx+c的图象由y=x|x|+bx向上或向下平移|c|个单位，故关于（0，c）对称正确；
取b=-1，c=0，则f（x）=x|x|-x=x（|x|-1）=0，x=0或x=±1，故④错误；
b=0，c＞0时函数f（x）是一个增函数，故只有一个零点，故②正确
故选C
点评：本题考查含有绝对值的函数的奇偶性、对称性和零点问题，综合性强，难度较大．
分析：①c=0时，可由奇函数的定义判断正确．③由①可知c=0时，f（x）图象关于原点对称，故f（x）=x|x|+bx+c的图象由y=x|x|+bx向上或向下平移|c|个单位，故关于（0，c）对称正确；②④中取b=-3，c=2即可判断错误．
解答：①c=0时，f（-x）=-x|x|-bx=-f（x），故f（x）是奇函数，故①正确；
③由①可知c=0时，f（x）图象关于原点对称，f（x）=x|x|+bx+c的图象由y=x|x|+bx向上或向下平移|c|个单位，故关于（0，c）对称正确；
取b=-1，c=0，则f（x）=x|x|-x=x（|x|-1）=0，x=0或x=±1，故④错误；
b=0，c＞0时函数f（x）是一个增函数，故只有一个零点，故②正确
故选C
点评：本题考查含有绝对值的函数的奇偶性、对称性和零点问题，综合性强，难度较大．
练习册系列答案
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设函数f（x）的定义域为A，若存在非零实数t，使得对于任意x∈C（C⊆A），有x+t∈A，且f（x+t）≤f（x），则称f（x）为C上的t低调函数．如果定义域为[0，+∞）的函数f（x）=-|x-m2|+m2，且 f（x）为[0，+∞）上的10低调函数，那么实数m的取值范围是（ ）
| A、[-5，5] | ||||||||
B、[-
| ||||||||
C、[-
| ||||||||
D、[-
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