Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

2

2

，且过点
M（2，1），又椭圆E上存在A、B两点关于直线l：y=x+m对称．
（Ⅰ）求椭圆E的方程，
（Ⅱ）求实数m的取值范围，
（Ⅲ）设点P在直线l上，若∠APB=

2π

3

，求S_△APB的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据离心率求得a和c的关系，进而求得a和b的关系式，把点（2，1）代入椭圆方程求得a和b的另一关系式，联立求得a和b，则椭圆的方程可得．
（Ⅱ）设出直线AB的方程和A，B的坐标，把直线方程与椭圆方程联立消去y，利用判别式大于0求得n的范围，根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表达式，设出C的坐标，进而求得x₀和y₀的表达式，代入直线方程求得m和n的关系式．利用n的范围确定m的范围．
（Ⅲ）根据题意可判断出△APB为等腰直角三角形，进而利用三角形面积公式求得三角形面积的表达式，根据n的范围确定三角形面积的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵

c

a

=

2

2

且

4

a2

+

1

b2

=1
∴a=

6

，b=

3

∴椭圆E得方程为：

x2

6

+

y2

3

=1

（Ⅱ）设直线AB的方程为y=-x+n，设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
由

x2+2y2-6=0 y=-x+n

得3x²-4nx+2n²-6=0
∵△＞0∴-3＜n＜3
∵

x1+x2= 2n 3 x1x2= 2n2-6 3

设A．B的中点C（x₀，y₀），
则

x0= n 3 y0= 2n 3

点C在ly=-x+n上
∴n=3m即-3＜3m＜3得-1＜m＜1

（Ⅲ）依题意得：△APB是等腰三角形，∠APB=

2π

3

∴S△APB=

1

2

|AB|•(

|AB|

2 3

)=

3

12

|AB|2
∵|AB|=

2

|x1-x2|=

4

3

9-n2

∴|AB|2=

16

9

(9-n2)
∴当n=0时，S_△APB取最大值

4 3

3

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．位置关系是历年高考命题的热点，平时应强化训练．