Question

已知函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且对于定义域内的任何x、y，有f（x-y）=

f(x)•f(y)+1

f(y)-f(x)

成立，且f（a）=1（a为正常数），当0＜x＜2a时，f（x）＞0则（　　）

A．f（3a）=1

B．f（x）是偶函数

C．f（x）在[2a，3a]上单调递增

D．4a为f（x）的周期

Answer 1

分析：再依据条件求得 f（2a）=0，f（3a）=-1，故排除A．求出函数的定义域，根据条件计算f（-x）与f（x）的关系，再根据函数的奇偶性的定义判定函数为奇函数，故排除B．
由条件求出f（x-a）=-

1

f(x+a)

，可得 f（x）=

-1

f(x+2a)

=f（x+4a），故函数是周期函数，可得D正确．求得先证明x∈（2a，3a）时，f（x）＜0，再根据单调性的定义进行证明，
可得f（x）在[2a，3a]上单调递减，故排除C，综合可得结论．

解答：解：由f（x-y）=

f(x)•f(y)+1

f(y)-f(x)

成立，且f（a）=1，可求得 f（2a）=f（a+a）=f[a-（-a）]=

f(a)•f(-a)+1

f(-a)-f(a)

=

1-f2(a)

-2f(a)

=0，
f（3a）=f（2a+a）=f[2a-（-a）]=

f(2a)•f(-a)+1

f(-a)-f(2a)

=

1

-f(a)

=-1，故A不正确．
∵定义域{x|x≠kπ，k∈Z}关于原点对称，f（a）=1，又f（-x）=f[（a-x）-a]=

f(a-x)• f(a)+1

f(a)-f(a-x)

 
=

f(a-x)+1

1-f(a-x)

=

1+ f(a)•f(x)+1 f(x)-f(a)

1- f(a)•f(x)+1 f(x)-f(a)

=

2f(x)

-2

=-f（x），∴f（x）为奇函数，故B不正确．
由于 f（x-a）=

f(x)•f(a)+1

f(a)-f(x)

=

1+f(x)

1-f(x)

=

1+f(x+a-a)

1-f(x+a-a)

=

1+ f(x+a)•f(a)+1 f(a)-f(x+a)

1- f(x+a)•f(x) f(a)-f(x+a)

=-

1

f(x+a)

，
所以 f（x）=

-1

f(x+2a)

=f（x+4a），故函数f（x）为周期性等于4a的周期函数，故D正确．
先证明f（x）在[2a，3a]上单调递减，由题意可得必须证明x∈（2a，3a）时，f（x）＜0．
设2a＜x＜3a，则0＜x-2a＜a，∴f（x-2a）=

f(2a)•f(x)+1

f(2a)-f(2x)

=

1

-f(x)

＞0，∴f（x）＜0．
设2a＜x₁＜x₂＜3a，则0＜x_2-x₁＜a，∴f（x₁）＜0f（x₂）＜0，f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=

f(x1)•f(x2)+1

f(x2-x1)

＞0，∴f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）在[2a，3a]上单调递减，故C不正确．
故选D．

点评：本题主要考查了函数奇偶性和周期性的判断，以及函数的最值及其几何意义等有关知识，属于中档题．