Question

(本小题满分14分)
已知函数（…是自然对数的底数）的最小值为．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）已知且，试解关于的不等式 ；
（Ⅲ）已知且.若存在实数，使得对任意的，都有，试求的最大值．

Answer 1

(1) (2)构造函数运用导数求解最值得到不等式的证明。
(3) 满足条件的最大整数的值为3．

解析试题分析：解：（Ⅰ）因为，所以，故，
因为函数的最小值为，所以．                ……………… 3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，.
当时，，……… 5分
故不等式可化为：
，
即，      ……………… 6分
得，
所以，当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为．   …………… 8分
（Ⅲ）∵当且时，，
∴.
∴原命题等价转化为:存在实数，使得不等式对任意恒成立.    …………… 10分
令.
∵，∴函数在为减函数. …………… 11分
又∵，∴.   …………… 12分
∴要使得对，值恒存在，只须．………… 13分
∵，
且函数在为减函数，
∴满足条件的最大整数的值为3．…… 14分
考点：导数，函数。
点评：本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等，属于中档题。