Question

已知数列{a_n}满足：，．
⑴求数列{a_n}的通项公式；      ⑵证明：
⑶设，且，证明：．

Answer 1

（1）（2）（3）见解析

：⑴由，得令，有
∴ ＝＝
又b₁＝2a₁＝2，                                                                                                           
∴∴                                                                           
⑵证法1：(数学归纳法)
1°，当n＝1时，a₁＝1，满足不等式                                                                       
2°，假设n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立
即，那么
即     又
由1°，2°可知，n∈N*，都有成立                                                                               
⑵证法2：由⑴知：　　　　　　　　　　　　　　　　(可参照给分)
∵，，∴
∵ ∵
∴ ∴当n＝1时，，综上
⑵证法3：  
∴{a_n}为递减数列  当n＝1时，a_n取最大值　　∴a_n≤1
由⑴中知　　  
综上可知
⑶欲证：即证                               
即ln(1＋T_n)－T_n＜0，构造函数f (x)＝ln(1＋x)－x
∵当x＞0时，f ' (x)＜0
∴函数y＝f (x)在(0，＋∞)内递减∴f (x)在[0，＋∞)内的最大值为f (0)＝0
∴当x≥0时，ln(1＋x)－x≤0又∵T_n＞0，∴ln(1＋T_n)－T_n＜0∴不等式成立